Matematika dan Ilmu Alamiah Dasar Minggu ke 10

HIMPUNAN DAN BILANGAN

A.    HIMPUNAN

Himpunan adalah kumpulan benda atau objek yang anggotanya dapat didefinisikan dengan jelas. Sementara yang bukan himpunan adalah kumpulan benda yang anggotanya tidak dapat didefinisikan dengan jelas.

Contoh himpunan :

§  Kumpulan bilangan asli kurang dari 6

§  Kumpulan hewan menyusui

Contoh bukan himpunan :

§  Kumpulan gadis cantik

§  Kumpulan orang tinggi

i.           Notasi Himpunan

Nama himpunan dituliskan dengan huruf kapital yaitu seperti A, B, C, ..... Z. Setiap anggota himpunan uga dituliskan dalam kurung kurawal {}

ii.         Anggota Himpunan

Anggota suatu himpunan dinyatakan dengan lambang elemen, sedangkan yang bukan notasi himpunan tidak dituliskan dengan lambang elemen. Anggota himpunan itu sendiri berarti objek bilangan yang termasuk dalam himpunan.

iii.           Macam-Macam Himpunan

·     Himpunan berhingga adalah suatu himpunan yang jumlah anggotanya dapat dihitung. Contohnya D = {bilangan genap kurang dari 10} atau A = {2,4,6,8}. Himpunan D jumlah angotanya dapat dihitung yaitu sebanyak 4 buah.

·     Himpunan tak hingga adalah suatu himpunan yang jumlah anggotanya tidak terbatas atau tak hingga. Contohnya: A= {bilangan genap}, B= {bilangan ganjil}

·    Himpunan kosong adalah suatu himpunan yang tidak memiliki anggota sama sekali. Himpunan kosong dilambangkan dengan tanda {}. Contohnya B = {bilangan genap antara 2 dan 4}. ditulis B={}={0}.

·         Himpunan equal/himpunan sama adalah himpunan yang anggotanya sama
contohnya A= {b,c,d} B={d,c,b} A=B

· Himpunan ekuivalen adalah himpunan-himpunan yang jumlah anggotanya sama.Contohnya A= {b,c,d} B={d,c,b} A jumlahnya sama dengan B

·  Himpunan semesta adalah himpunan dari semua unsur yang sedang dibicarakan.

  Himpunan semesta juga disebut himpunan uiversal dan ditulis dengan    huruf   S.

  Contohnya:A = {1,3,5,7,9}himpunan semestanya berupa: S = {bilangan asli} S = {bilangan cacah}S = {bilangan ganjil kurang dari 10}

·         Himpunan bagian adalah apabila setiap unsur dalam himpunan B termasuk juga anggota A, maka B merupakan bagian dari himpunan A.
contohnya : B = {a,c,e} A = {a,b,c,d,e}
jadi B bagian dari A.

·         Anggota himpunan n adalah suatu unsur dari suatu himpunan.
Contohnya : A = (a,b,c,d,e} maka a elemen A

·         Himpunan lepas adalah ssuatu himpunan yang tidak mempunyai anggota persekutuan dengan himpunan lain. Contohnya : A = {d,e,f} B = {g,h,i}maka himpunan A tidak mempunyai anggota persekutuan dengan himpunan B atau A//B bukan anggota himpunan adalah unsur ini tidak termasuk dalam himpunan tersebut. Contohnya: A = {a,b,c,d} e bukan anggota himpunan A.

·         Himpunan bilangan cacah adalah himpunan bilangan yang anggotanya dimulai dari nol dan seterusnya contoh : K = {0,1,2,3,4,5}

·         Himpunan bilangan asli adalah himpunan bilangan yang anggotanya dimulai dari bilangan satu dan seterusnya. Contohnya D = {1,2,3,4,}

·         himpunan bilangan genap adalah himpunan yang anggotanya dimulai dari angka dua dan selalu genap atau habis dibagi dua
contohnya :G = {2,4,6,8,10}

·         himpunan bilangan ganjil adalah himpunan yang anggota bilanganya tidak habis dibagi dua, contohnya : K = {1,3,5,7}

·         himpunan blangan prima adalah himpunan bilangan yang anggotanya semua bilangan yang memiliki dua faktor contohnya : Y = {2,3,,5,7}

·         himpunan kuadrat bilangan cacah adalah himpunan bilangan cacah yang anggotanya dipangkatkan dua.Contohnya :Y = {0^2,1^2,3^2)

Dalam menyatakan suatu himpunan terdapat tiga cara, yakni dengan kalimat, dengan cara mendaftar, dan dengan notasi pembentuk himpunan. Masing-masing cara dalam menentukan himpunan memiliki kelebihan dan kekurangannya masing-masing. Misalnya kelebihan cara mendaftar adalah digunakan untuk himpunan yang anggotanya sedikit, sedangkan kelemahannya adalah sulit untuk menulis himpunan ang anggotanya tidak berpola.

Himpunan Diagram venn

Irisan dari dua himpunan yang dinyatakan dengan diagram Venn

Macam – Macam Himpunan yang Dinyatakan Dengan Diagram Venn  :

1.       Himpunan kosong
Himpunan kosong adalah himpunan yang tidak memiliki anggota yang dinyatakan dengan ф atau {}.
Contoh : himpunan bilangan ganjil yang habis dibagi 2.

2.      Himpunan berhingga dan tak berhingga
Suatu himpunan disebut himpunan berhingga bila banyak anggota himpunan menyatakan bilangan tertentu, atau juga dapat dikatakan suatu himpunan disebut berhingga bia anggota-anggota tersebut dapat dihitung, maka proses penghitungannya berakhir. Begitu juga sebaliknya untuk pengertian dari himpunan tak berhingga.
Contoh
• Himpunan berhingga : himpunan nama hari dalam seminggu.
• Himpunan tak berhingga: himpunan bilangan real.

3.      Himpunan di dalam himpunan
Pada gambar tersebut semua anggota A ada di dalam himpunan B, maka A disebut bagian dari B, ditulis A⊂B dibaca A himpunan bagian dari B.
Himpunan A disebut himpunan bagian dari B ditulis A⊂B jika dan hanya jika untuk setiap x anggota A maka x anggota B.

4.       Himpunan bagian sejati
A disebut himpunan bagian sejati dari B jika dan hanya jika A⊂B dan B⊄A.
Contoh
Diketahui A={0, 2, 4, 6}, dan B={0, 2, 4, 6, 8}. Jelas bahwa A himpunan bagian sejati B.

5.      Dua himpunan yang sama
Himpunan A dan B disebut dua himpunan yang sama, ditulis A=B jika dan hanya jika anggota-anggota A tepat sama dengan anggota B artinya setiap anggota A ada diB dan dapat ditulis A=B jhj A⊂ B dan B⊂A.

6.      Dua himpunan yang ekivalen
Himpunan A dan B disebut dua himpunan yang ekivalen, ditulis A∞B jika dan hanya jika :
• n(A)=n(B), untuk A dan B himpunan berhingga.
• A dan B berkorespondensi satu-satu, untuk A dan B himpunan tak berhingga.

7.      Himpunan kuasa
Himpunan kuasa dari himpunan A adalah himpunan yang anggotanya semua himpunan bagian dari himpunan A dan dtulis 2A.
Contoh
A={2, 4}
2A ={∅,{2},{4},{2, 4}}
Dari contoh tersebut dapat disimpulkan:
Jika A adalah himpunan, n(A)=k, maka banyaknya anggot himpunan kuasa dari A ditulis n(2A)=2k.

Contoh soal :

a.       Himpunan

Diketahui himpunan semesta U = {a, b, c, d, e, f, g}.
Misalkan
A = {a, b, c, d, e}
B = {a, c, e, g}
C = {a, e, f, g}
Tentukan :
1. C - B
2. (A ∩ A')'

Jawab : 
1. {b, f}
2. U

b.      Diagram Venn

Perhatikan diagram venn dibawah ini :

   

 

Arsirlah : 
1. V ∩ W
2. V' U W

Jawab :

 1.

2. 

       B.     BILANGAN

Bilangan merupakan suatu konsep matematika yang digunakan untuk pecacahan maupun  penghitungan. Prosedur-prosedur tertentu yang mengambil bilangan sebagai masukan dan menghasil bilangan lainnya sebagai keluran, disebut sebagai operasi numeris. Operasi Uner mengambil satu masukan bilangan dan menghasilkan satu keluaran bilangan. Operasi yang lebih umumnya ditemukan adalah operasi biner, yang mengambil dua bilangan sebagai masukan dan menghasilkan satu bilangan sebagai keluaran. Contoh operasi biner adalah penjumlahan, pengurangan, perkalian, pembagian, perpangkatan, dan perakaran. Bidang matematika yang mengkaji operasi numeris disebut sebagai aritmetika.