Matematika dan Ilmu alamiah Dasar Minggu ke 14

PROPOSISI

    A.    KONSEP DAN NOTASI DASAR

Proposisi adalah pernyataan tentang hubungan yang terdapat di antara subjek dan predikat. Dengan kata lain, proposisi adalah pernyataan yang lengkap dalam bentuk subjek-predikat atau term-term yang membentuk kalimat.

Di dalam matematika, tidak semua kalimat berhubungan dengan logika. Hanya kalimat yang menyatakan benar atau salah yang digunakan dalam penalaran. Kaliat benar atau salah tadi disebut proposisi. Jadi, proposisi punya pengertian yang berbeda dalam tiap ruang lingkupnya.

Proposisi terdiri atas kalimat deklaratif yang bernilai benar (true) dan bernilai salah (false). Tetapi tidak dapat dinyatakan langsung dengan kedua-duanya, kebenaran maupun kesalahan dalam sebuah kalimat juga disebut nilai kebenarannya (truth value).

           

            Contoh :

1.      Semua pernyataan dibawah ini adalah proposisi :

a.       10 adalah bilangan genap.

b.      3 + 3 = 6.

c.       8 ≥ akar kuadrat dari 8+8.

d.      Ada kodok di bulan.

e.       Hari ini adalah hari minggu.

f.       Untuk sembarangan bilangan bulat n  ≥ 0 , maka 2n adalah bilangan genap.

g.      x + y = y + x untuk setiap x dan y bilangan riil.

2.      Semua pernyataan di bawah ini bukan proposisi

a.       Jam berapa kereta api Argo Bromo tiba di Gambir ?

b.      Isilah gelas tersebut dengan air !

c.       x + 3 = 8

d.      x > 3

proposisi dalam matematika dilambangkan dengan huruf kecil p, q, r . Seperti :

p : 10 adalah bilangan genap.

q : Untuk sembarangan bilangan bulat n  ≥ 0 , maka 2n adalah bilangan genap.

r : 3 + 3 = 6

misalkan p dan q adalah proposisi .

1.      Konjungsi, (Conjunction) : p dan q

Notasi : p ^ q

2.      Disjungsi, (Disjunction) : p atau q

Notasi : p v q

3.      Ingkaran,(Negation) dari p : tidak p

Notasi : ~p

p	q	p ^ q
T	T	T
T	F	F
F	T	F
F	F	F

p	q	p v q
T	T	T
T	F	T
F	T	T
F	F	F

p	~q
T	F
F	T

        B.     PROPOSISI DAN TABEL KEBENARAN

Proposisi adalah kalimat atau pernyataan yang selalu memiliki nilai kebenaran, baik itu bernilai benar atau salah tetapi tidak keduanya. sebuah proposisi majemuk disebut tautologi jika ia benar untuk semua kasus, sebaliknya kontradiksi jika ia salah untuk semua kasus. Proposisi majemuk adalah dimana proposisi diperoleh dari pengkombinasian, sedangkan proposisi atomik adalah dimana bukan merupakan kombinasi dari proposisi lainnya.

Proposisi juga disebut sebagai dua kalimat ekuivalen (secara logika) bila dan hanya bila keduanya mempunyai nilai kebenaran yang sama untuk semua substitusi nilai kebenaran masing-masing kalimat penyusunnya. Ditulis dengan bentuk p ≡ q. Jika p ≡ q maka q ≡ p juga.

         Tabel kebenaran adalah suatu tabel yang memuat nilai kebenaran proposisi majemuk. Nilai kebenaran dari proposisi majemuk ditentukan oleh nilai kebenaran proposisi-proposisi pembangunnya. Jika kalimat majemuk yang akan kita buat tabel kebenarannya memuat n proposisi tunggal, maka jumlah komposisi nilai kebenarannya ada 2n. Berikut ini adalah tabel kebenaran dari operator-operator logika dasar.

Simbol	Arti	Bentuk
-	Tidak / Not / Negasi	tidak…
∧	Dan / And / Konjungsi	…dan…
∨	Atau / Or / Disjungsi	…atau…
⇒	Implikasi	Jika…maka…
⇔	Biimplikasi	…jika dan hanya jika…

p	q	-p	-q	p ∨ q	p ∧ q	p ⇒ q	p ⇔ q
T	T	F	F	T	T	T	T
T	F	F	T	T	F	F	F
F	T	T	F	T	F	T	F
F	F	T	T	F	F	T	T

      C.    TAUTOLOGI DAN KONTRADIKSI

Pengolahan hasil proposisi majemuk ada tiga kemungkinan yang bisa terjadi, yaitu:

1. Terjadi Tautologi
     a. Konversi;
     b. Inversi;
     c. Kontraposisi
     d. Kondisionaliti
     e. Negasi Implikasi
     f. Negasi Ekuivale
     g. De Morgan;
     h. Distribusi.

2.  Terjadi Kontradiksi
     Hasil akhir salah semua dari semua kemungkinan nilai logis.

3.  Terjadi Kontigensi
     Hasil akhir ada yang benar dan ada yang salah dari kemungkinan nilai logisnya.

      D.    EKUIVALEN LOGIKA

 

 Kapan dikatakan suatu ekspresi logika ekuivalen logis?

1.      Jika kedua ekspresi logika adalah Tautologi ( T dan T pada Tabel Kebenaran ).

2.      Jika kedua ekspresi logika adalah Kontradiksi ( F dan F pada Tabel Kebenaran ).

3.      Pada Contingen, jika urutan T dan F atau sebaliknya pada Tabel Kebenaran tetap pada urutan yang sama.

        Pada tautologi dan juga kontradiksi, dapat dipastikan bahwa jika dua buah ekspresi logika adalah tautologi, maka kedua buah ekspresi tersebut ekuivalen secara logis,  demikian juga jika keduanya kontradiksi : persoalanya ada pada cotingent, karena memiliki semua nilai S dan B. tetapi jika ukuran B dan S atau sebaliknya pada  tabel kebenaran tetap pada ukuran yang sama maka tetap disebut ekuivalen secara logis.

Contoh :

1. Vika sangat cantik dan pemarah
2. Vika pemarah dan sangat cantik

           Kedua pernyataan diatas, tanpa dipikir panjang, akan dikatakan ekuivalen atau sama saja, dalam bentuk ekspresi logika dapat ditampilkan berikut :

A     =        Vika sangat cantik

B      =        Vika pemarah

Maka ekspresi logika adalah :

(1)   A ∧ B

(2)   B ∧ A

Kedua buah ekspresi logika tesebut dikatakan ekuivalen secara logis, dan dapat ditulis :

(A ∧ B) = (B ∧ A) 

Ekuivaelnsi logis dan kedua ekspresi logika dapat dibuktikan dengan tebel kebenaran. Sebagai berikut.

A	B	A ∧ B	B ∧ A
B	B	B	B
B	S	S	S
S	B	S	S
S	S	S	S

           Pembuktian dengan tabel kebenaran diatas, walaupun setiap ekspresi logika memiliki nilai B dan S, tetapi untungnya sama maka secara logis dikatakan ekuivalen, tetapi jika untuk S dan B tidak sama maka tidak biasa dikatakan ekuivalen secara logis.

Defenisi     = proposisi A dan B disebut ekuivalen secara logis jika A  B adalah tautologi. 

Notasi atau simbol A ≡ B menandakan bahwa A dan B ekuivalen secara logis.

       E.     ALJABAR PROPOSISI

Hukum-Hukum Aljabar Proposisi (Aturan Penggantian) :

Setiap proposisi yang saling ekivalen dapat dipertukarkan atau diganti antara satu dengan yang lainnya. Di bawah ini disajikan daftar aturan penggantian untuk keperluan deduksi.

1. Hukum Idempoten (Idem)

    a. p∨q ek p

    b. p∧p ek p

2. Hukum Asosiatif (As)

    a. (p∨q)∨r ek p∨(q∨r)

    b. (p∧q)∧r ek p∧(q∧r)

3. Hukum  Komutatif (Kom)

    a. p∨q ek q∨p

    b. p∧q ek q∧p

4. Hukum Distributif (Dist)

    a. p∨(q∧r) ek (p∨q)∧(p∨r)

    b. p∧(q∨r) ek (p∧q)∨(p∧r)

5. Hukum Identitas (Id)

    a. p∨F ek p

    b. p∨T ek T

    c. p∧F ek F

    d. p∧T ek p

6. Hukum Komplemen (Komp)

    a. p∨∼p ek T

    b. p∧∼p ek F

    c. ∼(∼p) ek p

    d. ∼T ek F

7. Hukum Transposisi (Trans)

    p⇒q ek ∼q⇒∼p

8. Hukum Implikasi (Imp)

    p⇒q ek ∼p∨q

9. Hukum Ekivalensi (Eki)

    a. p⇔q ek (p⇒q)∧(q⇒p)

    b. p⇔q ek (p∧q)∨(∼q∧∼p)

10. Hukum Eksportasi (Eksp)

      (p∧q)⇒r ek p⇒(q⇒r)

11. Hukum De Morgan (DM)

       a. ∼(p∨q) ek ∼p∧∼q

       b. ∼(p∧q) ek ∼p∨∼q

Contoh:

Buktikanlah bahwa:

a. ∼(p⇒q)ek p∧∼q

b. (p∧q)⇒p ek T

c. ∼[p⇒(p∨q)] adalah kontradiksi

Penyelesaian:

a. ∼(p⇒q)ek ∼(∼p∨q)

                  ek ∼p∧∼q

                  ek p∧∼q

b. (p∧q)⇒p ek ∼(p∧q)∨p

                     ek (∼p∨∼q)∨p

                     ek (∼p∨p)∨∼q

                     ek T ∨ ∼q

                     ek T

c. ∼[p⇒(p∨q)] ek ∼[∼p∨(p∨q)]

                          ek ∼[(∼p∨p)∨q]

                          ek ∼(T ∨ q)

                          ek ∼T

                          ek F

 

       F.    IMPLIKASI LOGIK

         Implikasi adalah Misalkan ada 2 pernyataan p dan q, untuk menunjukkan atau membuktikan bahwa jika p bernilai benar akan menjadikan q bernilai benar juga, diletakkan kata “JIKA” sebelum pernyataan pertama lalu diletakkan kata “MAKA” sebelum pernyataan kedua sehingga didapatkan suatu pernyataan majemuk yang disebut dengan IMPLIKASI.

Implikasi               : p => q

Konversi                : q => p

Inversi                   : ~p => ~q

Kontraposisi          : ~q => ~p

Contoh :

Implikasi   : Jika saya ke Bandung , maka saya membeli sepatu.

Konversi    : Jika saya membeli sepatu , maka saya ke Bandung.

Inversi       : Jika saya tidak ke Bandung, maka saya tidak membeli sepatu.

Kontraposisi : Jika saya tidak membeli sepatu, maka saya tidak ke Bandung.

         Misalkan p dan q adalah proposisi. Proposisi majemuk “jika p, maka q” disebut proposisi bersyarat (implikasi) dan dilambangkan dengan p, q Proposisi p disebut hipotesis (atau antesenden atau premis atau kondisi) dan proposisi q disebut konklusi (atau konsekuen).

       G.    FUNGSI PROPOSISI DAN HIMPUNAN KEBENARAN

      Proposisi adalah pernyataan dalam bentuk kalimat yang memiliki arti penuh, serta mempunyai nilai benar atau salah, dan tidak boleh kedua-duanya. Berfungsi sebagai kalimat deklaratif yang bernilai kesalahan dari sebuah kalimat disebut nilai kebenarannya (truth value). 

        Himpunan dikenal dengan istilah kelompok, kumpulan, kelas, maupun gugus dalam matematika. Himpunan diperkenalkan oleh George Cantor (1945-1918), seorang ahli matematika jerman. Ia menyatakan bahwa himpunan adalah kumpulan atas objek-objek. Objek tersebut dapat berupa benda abstrak maupun kongkret. Pada dasarnya benda-benda dalam suatu himpunan tidak harus memiliki kesamaan sifat ataupun karakter.  

       Misalkan P(x) merupakan sebuah pernyataan yang mengandung variabel x dan D adalah sebuah himpunan (sembarang kumpulan obyek). Kita menyebut P sebuah fungsi proposisi (dalam D) jika untuk setiap x di D, P(x) adalah proposisi. 

          Contoh : 

         1.      Fungsi proposisi “x+2>7” yang didefinisikan pada N, yakni himpunan bilangan asli. Maka   {x | x Î N, x+2>7} = {6,7,8,…}adalah himpunan kebenarannya.

  H.    PENGUKUR JUMLAH UNIVERSAL

KUANTOR adalah pengukur kuantitas atau jumlah. Pernyataan berkuantor artinya pernyataan yang mengandung ukuran kuantitas atau jumlah. Biasaanya pernytaan berkuantor mengandung kata semua, setiap, beberapa, ada, dan sebagainya. Kata semua, setiap beberapa, ada, atau tiap-tiap merupakan kuantor karena kata-kata tersebut menyatakan ukuran jumlah. Kuantor dibagi menjadi dua bagian, yaitu

1.      Kuantor universal

Dalam aljabar, pernyataan kuantor universal ini dapat digunakan untuk mengubah kalimat terbuka menjadi kalimat tertutup (pernyataan). Misalkan p(x) adalah sebuah kalimat terbuka, maka untuk menyatakan himpunan penyelesaian dari p(x) pada himpunan semesta S dapat ditulis sebagai berikut:

    ∀x, p(x) dibaca "semua x bersifat p(x)".

    ∀ x ∈ S, p(x) dibaca "semua x anggota S bersifat p(x)".

Nilai kebenaran dari pernyataan berkuantor ∀x, p(x) bergantung pada himpunan semesta yang ditinjau dan kalimat terbuka p(x).

2.      Kuantor eksistensial.

Kuantor eksistensial artinya penukur jumlah yang menunjukkan keberadaan. Dalam matematika “ada” artinya tidak kosong atau setidaknya satu. Contoh kuantor eksistensial adalaha ada, beberapa, terdapat, atau sekurang-kurangnya satu.

Misalkan p(x) adalah suatu kalimat terbuka yang didefinisikan pada himpunan semesta S, maka pernyataan: "ada x di dalam S sedemikian sehingga p(x) benar" disebut pernyataan eksistensial (khusus) dan kata ada dalam pernyataan di atas disebut kuantor eksistensial.

Kata-kata yang sering muncul/dipakai dalam pernyataan eksistensial adalah ada, beberapa, dan paling sedikit satu. Simbol matematis untuk ketiga kata tersebut sama yaitu "∃".

         I.     NEGASI INGKARAN

Kalimat ingkaran ( Negasi ) adalah suatu pernyataan yang diperoleh dari suatu pernyataan sebelumnya dan mempunyai nilai kebenaran yang berlawanan dengan pernyataan sebelumnya.

Beberapa negasi suatu pernyataan dapat dilihat pada table berikut.

Tabel nilai kebenaran Negasi :

 

Contoh :

Tentukan ingkaran dari pernyataan berikut, kemudian tentukanlah nilai kebenarannya.

( 1 ) p : Ibukota Jawa Barat adalah Surabaya.

( 2 ) s : 2 + 2 = 5

Jawab :

( 1 ) p : Ibukota Jawa Barat adalah Surabaya.

~p : Ibukota Jawa Barat Bukan Surabaya.

p bernilai S ( salah ) dan ~p bernilai B ( benar )

( 2 ) s : 2 + 2 = 5

~s : 2 + 2 ≠ 5

s bernilai S ( salah ) dan ~s bernilai B ( benar )