Matematika dan Ilmu Alamiah Dasar Minggu ke 12

RELASI

Relasi merupakan hubungan antara dua elemen himpunan, atau dapat dikatakan bahwa himpunan bagian antara  A(domain) dan B (kodomain) atau  relasi yang memasangkan setiap elemen yang ada pada himpunan  A secara tunggal, dengan elemen yang  pada B. Relasi memiliki hubungan yang bersifat abstrak dan tidak perlu memiliki arti apapun baik secara konkrit maupun secara matematis.

Himpunan A disebut daerah asal atau domain, himpunan B disebut daerah kawan atau kodomain dan himpunan yang dibentuk dari prapeta pada anggota A yang merupakan anggota himpunan B disebut daerah hasil atau range.

A.    Jenis-Jenis Relasi

1.      Relasi Invers

Misalkan R merupakan  relasi dari himpunan A ke himpunan B. Invers dari R yang dinyatakan dengan  adalah relasi dari B ke A yang mengandung semua pasangan terurut yang bila dipertukarkan masih termasuk dalam R. Ditulis dalam notasi himpunan sbb ;

R-1= {(b,a) : (a,b)R}

contoh:
A = {1,2,3} 

B = {x,y}
R = {(1,x), (1,y), (3,x)} relasi dari A ke B
R-1= {(x,1), (y,1), (x,3)} relasi invers dari B ke A

2.    Relasi Refleksif

Misalkan R = (A, A, P(x,y)) suatu relasi. R disebut relasi refleksif, jika setiap A berlaku (a,a)R. Dengan kata lain, R disebut relasi refleksif jika setiap anggota dalam A berelasi dengan dirinya sendiri. Contoh Relasi Refleksif :

Diketahui A = {1, 2, 3, 4} dan

R = {(1,1), (2,3), (3,3), (4,2), (4,4)}

Apakah R relasi refleksif ?

R bukan relasi refleksif, sebab (2,2) tidak termasuk dalam R.

Jika (2,2) termasuk dalam R, yaitu R1= {(1,1), (2,2), (2,3), (3,3), (4,2), (4,4)} maka R1merupakan relasi refleksif.

3.    Relasi Simetrik

Relasi R dalam A disebut memiliki sifat simetrik, jika setiap pasangan anggota A berhubungan satu sama lain. Dengan kata lain, jika a terhubung dengan b, maka b juga terhubung dengan a. Jadi terdapat hubungan timbal balik.

                               atau

Sebuah relasi “x + y genap” adalah relasi simetrik, karena untuk sembarang x dan y yang kita pilih, jika memenuhi relasi tersebut, maka dengan menukarkan nilai y dan x, relasi tersebut tetap dipenuhi. Misalnya untuk pasangan (5, 3) relasi tersebut dipenuhi, dan untuk (3, 5) juga.

Misalkan R = (A, B, P(x,y)) suatu relasi. R disebut relasi simetrik, jika setiap (a,b)R berlaku (b,a)R. Dengan kata lain, R disebut relasi simetrik jika a R b berakibat b R a. Contoh Relasi Simetrik :

perhatikan satu per satu. Setiap kali kamu menemukan pasangan, misalnya (a, b), maka cari apakah (b, a) juga ada. Kalau ternyata tidak ada, pasti relasi itu tidak simetrik.

Apakah relasi dalam {1, 2, 3, 4} berikut simetrik?

Pembahasan

{(1, 2), (2, 3), (4, 2), (3, 2), (2,4), (1, 1), (3, 3), (2, 1)}

Relasi tersebut simetrik. Mari kita periksa satu per satu.

 kita menemukan (1, 2). Berarti (2, 1) juga harus ada. Ternyata benar.

{(1, 2), (2, 3), (4, 2), (3, 2), (2, 4), (1, 1), (3, 3), (2,1)}

4.    Relasi Anti Simetrik

Suatu relasi R disebut relasi anti simetrik jika (a,b)R dan (b,a)R maka a=b. Dengan kata lain Jika a, b A, a≠b, maka (a,b)R atau (b,a)R, tetapi tidak kedua-duanya.

Contoh : Misalkan R suatu relasi dalam himpunan bilangan asli yang didefinisikan “y habis dibagi oleh x”, maka R termasuk relasi anti simetrik karena jika b habis dibagi a dan a habis dibagi b, maka a = b. Misalkan A = {1, 2, 3} dan R1= {(1,1), (2,1), (2,2), (2,3),l (3,2)}, maka R1bukan relasi anti simetrik, sebab (2,3)R1dan (3,2)R1pula.

5.    Relasi Transitif

Misalkan R suatu relasi dalam himpunan A. R disebut relasi transitif jika berlaku ; Jika (a,b)R dan (b,c)R maka (a,c)R. Dengan kata lain, jika a berelasi dengan b dan b berelasi dengan c, maka a berelasi dengan c.

Contoh : Misalkan A = {a, b, c} dan R = {(a,b), (a,c), (b,a), (c,b)}, maka R bukan relasi transitif, sebab (b,a)R dan (a,c)R tetapi (b,c)R.

Coba dilengkapi agar R menjadi relasi transitif

R = {(a,a), (a,b), (a,c), (b,a), (b,b), (b,c), (c,a), (c,b),l (c,c)}

atau

 

6.    Relasi Equivalen

Suatu relasi R dalam himpunan A disebut relasi equivalen jika memenuhi :

1.Sifat Refleksif

2.Sifat Simetrik

3.Sifat Transitif

B.     Empat Cara Menyatakan Relasi

1.      Dengan Himpunan Pasangan Berurutan

Himpunan yang anggotanya semua pasangan berurutan (x,y) dinamakan himpunan pasangan berurutan.

2.       Dengan Diagram Panah

Langkah-langkah cara menyatakan relasi dengan diagram panah:
1.Membuat dua lingkaran atau ellips

2.Untuk meletakkan anggota himpunan A dan anggota himpunan B x=A diletakkan pada lingkaran A dan y=B diletakkan pada lingkaran B

3. x dan y dihubungkan dengan anak panah

4. Arah anak panah menunjukkan arah relasi

5. Anak panah tersebut mewakili aturan relasi

3.  Dengan Diagram Cartesius

Pada diagram cartesius diperlukan dua salib sumbu yaitu; sumbu mendatar (horisontal) dan sumbu tegak (vertikal) yang berpotongan tegak lurus.
1. x=A diletakkan pada sumbu mendatar

2. y=B diletakkan pada sumbu tegak

3. Pemasangan (x,y) ditandai dengan sebuah noktah yang koordinatnya ditulis

sebagai pasangan berurutan (x,y).

4.    Dengan Rumus

f(x) = x + 1, di mana x = {0, 1, 2, 5} dan f(x) = {1, 2, 3, 4, 6}

C.    Macam Penyajian Relasi

·      Penyajian Relasi dengan Diagram Panah

Misalkan A = {3,4,5} dan B = {2,4}. Jika kita definisikan relasi R dari A ke B dengan aturan :   (a, b) ∈ R jika a faktor prima dari b maka relasi tersebut dapat digambarkan dengan diagram panah berikut ini :

·      Penyajian relasi dengan diagram cartesius

Diagram Kartesius menggunakan pasangan koordinat horisontal-vertikal. Setiap titik mewakili ada tidaknya hubungan A dan B, contoh :

·      Penyajian Relasi berupa Pasangan Terurut

Contoh relasi pada diagram panah dapat dinyatakan dalam

bentuk pasangan terurut, yaitu :

R = {(3, 2), (4, 2), (5, 2), (5, 4)}

·      Penyajian Relasi dengan Tabel

Kolom pertama tabel menyatakan daerah asal, sedangkan kolom kedua menyatakan daerah hasil

·      Penyajian Relasi dengan Matriks

Relasi antara A = {a₁, a₂, …, a_m} dan B = {b₁, b₂, …, b_n}