Matematika dan Ilmu Alamiah Dasar Minggu ke 15

LOGIKA

Logika masuk ke dalam kategori matematika murni karena matematika adalah logika yang tersistematisasi. Matematika adalah pendekatan logika kepada metode ilmu ukur yang menggunakan tanda-tanda atau simbol-simbol matematik (logika simbolik). Logika tersistematisasi dikenalkan oleh dua orang dokter medis, Galenus (130-201 M) dan Sextus Empiricus (sekitar 200 M) yang mengembangkan logika dengan menerapkan metode geometri.

Puncak logika simbolik terjadi pada tahun 1910-1913 dengan terbitnya Principia Mathematica tiga jilid yang merupakan karya bersama Alfred North Whitehead (1861 - 1914) dan Bertrand Arthur William Russel (1872 - 1970).

Logika adalah suatu displin yang berhubungan dengan metode berpikir. Pada tingkat dasar, logika memberikan aturan-aturan dan teknik-teknik untuk menentukan apakah suatu argumen yang diberikan adalah valid.

I.                  Operasi Logika Matematika

 

1.      Pernyataan, Kalimat Terbuka, dan Ingkaran

Pernyataan adalah kalimat yang bernilai benar atau salah, tapi tidak sekaligus keduanya. Contoh: Jakarta adalah ibukota Indonesia. (benar). Kota Jakarta terletak di Pulau Sumatera. (salah)

Kalimat terbuka adalah kalimat yang mengandung variabel, sehingga belum dapat ditentukan kebenarannya. Contoh: merupakan kalimat terbuka karena mengandung variabel

Ingkaran atau negasi merupakan kebalikan/lawan dari suatu pernyataan. Jika diketahui pernyataan P, maka negasinya adalah

2.      Konjungsi, Disjungsi, Implikasi, dan Biimplikasi

Konjungsi merupakan operasi logika matematika dengan tanda hubung “dan”. Simbolnya adalah . Jika ada dua pernyataan P dan Q, maka pada tabel kebenaran, hasilnya akan benar jika kedua pernyataannya bernilai benar. Sisanya salah. Disjungsi merupakan logika matematika dengan tanda hubung “atau”, simbolnya . Pada tabel kebenaran, hasilnya hanya salah jika kedua pernyataannya salah.

Implikasi disebut juga dengan “pernyataan bersyarat“, simbolnya adalah  atau , yang dibaca dengan “jika”. Misal maka dibaca “jika P maka Q. Pada tabel kebenaran, hasilnya benar jika kedua pernyataannya benar atau kedua pernyataannya salah.

Biimplikasi merupakan implikasi dua arah, dengan simbol atau . Misal , maka dibaca “P jika dan hanya jika Q”.

3.      Pernyataan Majemuk

Pernyataan majemuk merupakan pernyataan yang terdiri dari beberapa pernyataan tunggal. Jadi, pernyataan ini terdiri dari beberapa operasi logika matematika.

Contoh:

 

4.      Konvers, Invers, dan Kontraposisi

Jika diketahui operasi logika matematika , maka berlaku:

Konvers:

Invers: 

Kontraposisi:

 

5.      Pernyataan Berkuantor

Kuantor Universal atau kuantor umum, menggunakan kata: semua, seluruhnya, atau . Contoh: Semua manusia akan mati. Simbolnya adalah

Kuantor Eksistensial atau kuantor khusus, menggunakan kata: ada, beberapa, sebagian, terdapat. Contoh: Ada burung yang tidak bisa terbang. Simbolnya adalah .

3. Penarikan Kesimpulan

Dari beberapa pernyataan yang benar (premis) dan saling berhubungan, dapat ditarik suatu kesimpulan dari premis-premis tersebut.

Ada 3 pola utama dalam menarik suatu kesimpulan, yaitu modus ponens, modus tollens, dan silogisme.

Perhatikan pola berikut.

II.                Pernyataan Majemuk dan Penghubung Logika

1. Pernyataan Majemuk

      Kalimat-kalimat sederhana yang benar atau salah adalah dasar dari pernyataan. Kalimat-kalimat yang lebih besar dan kompleks dapat dikonstruksi dari pernyataan dasar dengan mengkombinasikannya dengan penghubung logika (connectives). Jadi, proposisi dan penghubung logika adalah unsur dasar dari logika proposisional. Dalam matematika, huruf-huruf x, y, z,... melambangkan variabel yang dapat diganti dengan bilangan riil dan variabel-variabel ini dapat dikombinasikan dengan operasi hitung +, ´, -, dan ¸. Dalam logika, huruf-huruf p,q, r,... melambangkan variabel-variabel pernyataan, artinya variabel yang dapat diganti dengan pernyataan.

Berikut ini adalah contoh variabel pernyataan:
p : 2 + 3 = 5 .

q : 2 adalah bilangan prima.

r : 2 adalah bilangan rasional.

Pernyataan-pernyataan yang disajikan dengan huruf-huruf p, q dan r dinamakan sebagai pernyataan primitif. Variabel-variabel pernyataan dapat digabungkan dengan penghubungpenghubung logika untuk memperoleh pernyataan majemuk (compound statements). Nilai kebenaran dari sebuah pernyataan majemuk hanya bergantung pada nilai-nilai kebenaran dari variabel-variabel pernyataannya (komponenkomponennya) dan pada jenis penghubung logika yang digunakan. Sebagai contoh, kita dapat mengkombinasikan variabel variabel pernyataan dalam Contoh 1.3 dengan penghubung dan (and) untuk membentuk pernyataan majemuk 2 adalah bilangan prima dan 2 adalah bilangan rasional atau q dan r .

Hubungan dari nilai kebenaran pernyataan majemuk dan variabel-variabel penyusunnya dapat disajikan dengan sebuah tabel. Tabel ini menyajikan nilai dari sebuah pernyataan majemuk untuk semua nilai yang mungkin dari variabel-variabel penyusunnya dan disebut tabel kebenaran (truth table). Dalam membuat tabel kebenaran, ditulis “T” untuk benar (True) dan “F” untuk salah. (False)


2. Penghubung Logika

Ada lima jenis penghubung logika yang dapat dipakai untuk menggabungkan pernyataan - pernyataan menjadi pernyataan majemuk, yaitu: negasi (negation), konjungsi (conjunction), disjungsi (disjunction), implikasi (implication) , dan biimplikasi (biimplication). Tabel 1.1 menyajikan jenis, simbol dan bentuk dari lima penghubung logika.

     Prioritas dari penghubung-penghubung logika disajikan dalam Tabel 1.2. Penghubung dengan prioritas lebih tinggi harus diselesaikan lebih dahulu.